Sin, Cos eta Tg-en definizioa edozein angelutan

Zirkuferentzia goniometrikoa deritzo 1cm-ko erradioa duen zirkuferentzia, zentroa kordenatu jatorrian duela. Alpha angelua adierazteko, erpina jatorriaren gainean jartzen da eta alde bat x ardatzaren gainean.Angelua neurtzeko x ardatzatik erlojuaren orratzen noranzkoa izan behar da beti.


Alpha angelua (a,b) kordenatuak mugatzen dute. (a,b) = (cos alpha, sin alpha). Modu horri esker angeluaren arrazoia eta zeinua jakin daitezke.








1. kuadrantean, angelua handitu egiten da.  - Sin: 0tik 1raino handitu egiten da.
                                                                   - Cos:1tik =raino txikitu egiten da .
                                                                   -Tg: 0tik infinituraino handitu egiten da.


2. kuadrantean, angelua handitu egiten da. -Sin: 1tik 0raino txikitu egiten da.
                                                                  - Cos: 0tik -1eraino txikitu egiten da.
                                                                  - Tg: infinitutik 0raino txikitu egiten da.



3.kuadrantean, angelua handitu egiten da. -Sin: 0tik -1eraino txikitu egiten da.
                                                                  - Cos: -1tik 0raino handitu egiten da
                                                                  - Tg: 0tik infinituraino  handitu egiten da.


4. kuadrantean, angelua handitu egiten da. -Sin: -1tik 0raino handitu egiten da.
                                                                   - Cos: 0tik 1ra handitu egiten da.
                                                                   -Tg: infinitutik 0raino txikitu egiten da.

30º, 45º eta 60º-ko angeluen arrazoi trigonometrikoak

• 30º eta 60º-ren arrazoi trigonometrikoak                                      

kontuz! h, pitagorasen teoremaren bidez kalkulatu behar da. h= √3:2

                       

 - sin 30º=aurkakoa : hipotenusa =(1:2):1 = 1:2                      

 - cos 30º=albokoa : hipotenusa =h : 1 = (√3:2) : 1 = √3:2

 - tg 30º=aurkakoa : albokoa =(1:2) : h = (1:2) : (√3:2) = √3:3

                    
                     - sin 60º = aurkakoa : hipotenusa = h : 1 = (√3:2) : 1 = √3:2

                     - cos 60º = albokoa : hipotenusa = (1:2) :1 = 1:2

                     - tg 60º = aurkakoa : albokoa = (√3 :2) : (1:2) = √3

•  45º-ren arrazoi trigonometrikoak

- sin 45º = aurkakoa : hipotenusa =1:√2 = √2:2

- cos 45º = albokoa : hipotenusa =1:√2 = √2:2

- tg   45º = aurkakoa : aldekoa =1:1 = 1

30º, 45º, 60º eta 90º-ren arrazoi trigonometrikoak jakiteren ondorioz, taula hau lortu dezakegu:

           0º     30º       45º        60º         90º

 

sin       0      1:2      √2:2        √3:2        1

cos      1     √3:2     √2:2        1:2          0

tg        0     √3:3       1          √3:1        ?   galdera ikurra jarri dugu, 1:0 ezin da eta

Angeluak neurtzeko erabiltzen diren unitateak

Denok dakizuen bezala, antzekotasunean eta trigonometrian behin eta berriz azaltzen ari zaizkigu angeluak. Horregatik, angeluak neurtzeko unitateak azalduko ditugu, bat baino gehiago daude eta.

• GRADU HIRUROGEITARRAK: Guretzat unitate hau da ezagunena, orain arte berarekin jardun garelako eta berarekin jardungo dugulako gehienetan.

Ezaugarriak:

- Unitate honetan angelu zuzenak 90º ditu.

- 1º = 60´eta 1´= 60´´ Horrexegatik deitzen da "gradu hirurogeitarra".

- Kalkulagailuan unitate hau ezartzeko shift, set up eta DEG aukeratu behar dugu. Hori ondo eginez gero, pantailaren goialdean D batez adierazita egongo da.

• GRADU EHUNDARRAK: Hau ere angeluak neurtzeko unitate bat da, baina, ez da horren ezaguna oso gutxitan erabiltzen delako. Guk ere ez dugu ia erabiliko.

Ezaugarriak:

- Unitate honetan angelu zuzenak 100º ditu.

- 1º = 100´eta 1´=100´´ Horrexegatik deitzen da "gradu ehundarra".

- Kalkulagailuan unitate hau ezartzeko shift, set up eta GRA aukeratu behar dugu. Hori ondo eginez gero, pantailaren goialdean G batez adierazita egongo da.

• RADIANAK: Angelu unitate hau zirkunferentzietan angeluak neurtzeko erabiltzen da. Guk noizbehinka ere erabiliko ditugu.

Ezaugarriak:

- 360º = 2 x pi x rad  baita ere 180º = pi x rad (graduak "gradu hirurogeitarrean" daude)

- Kalkulagailuan unitate hau ezartzeko shift, set up eta RAD aukeratu behar dugu. Hori ondo eginez gero, pantailaren goialdean R batez adierazita egongo da.

Talesen teorema

Kaaaixooooo laguuuun min guztiei !

Gaurko klasean esplikatutako TALESEN TEOREMA azalduko dizuet era labur eta garbi batean.
Tales teoreman hiru marra marraztuak daude beti. ( luzera desberdinekoak) eta marrak nahi ditugun kokapenaz begira. Horretarako zuzenkiak eta ebakitzaileak behar dira. Baina hasteko liburuan dauden moduan jarriko ditugu. Letrak ipini beharra daukagu. A (letra larria) eta A' (letra larriz ere) ipiniko ditugu, ondoren berbera egingo dugu B eta C letrekin.AB AC BC ( r zuzenan) daude markaturik eta A', B', eta C' (r' zuzenan) berriz. Esan daiteke HOMOLOgoAK direla .

AB  =  AC =  BC

                                                                    A'B'    A'C'    B'C'

Hauek proportzioan daude, HOMOLOGOAK direlako.

Kasu hauetan zuzenki batetik-bestera pasatzeko BETI zenbaki berberarekin bidertu behar da.



Hiztegia :
-Homologoak: Zuzen berberan kokaturik daudelako. Zuzen desberdinetan izan arren ezaugarri edo propietate berdinak dituzte.

TALESEN TEOREMA hobeto ulertzeko 7 ariketa ebatziko dizuet bertan:

7 KALKULATU EZEZAGUNAK ( X, Y,Z eta T letrak):

Goran errepresentatuta daukagu 7. ariketako marrazkia. Horretarako lehen pausua TALESEN TEOREMA aplikatzea izango da.

r eta r'        2       =     3    =    t     
                2,25           x          5,25

X-ren balioa ateratzeko:  2    =    3    
                                      2,25      X

2·X =3 · 2,25
   X =      3 ·2,25     =  3,38 cm
Berdina egingo dugu baina T-ren balioa ateratzeko;

     2       =       t     

  2,25              5,25

   T =   2 · 5,25     = 4,67 cm

              2,25
Y-ren balioa :

   3,38    =    5,25    = 5,25·Y  =   3,38·6,5
    Y                6,5
                                          Y=   3,38·6,5        =  4,2 cm
                                                      5,25
     2,25      =    5,25     = 5,25 ·Z = 6,5  · 2,25
       Z               6,5

                                            Z =    6,5 · 2,25     = 2,8 cm
                                                       5,25

                                                                                                                                                                                              
Gaurko esplikazioa bukatzeko; TRIANGELUEN ANTZEKOTASUNA azalduko dizuet.

Hauek irudi antzekoak dira

• Aldeak proportzionalak
• Angeluak berdinak.

Hauetan nahiz eta irizpide guztiak (3-rak) hirukientzat izan, ez da beharrezkoa alde guztiak erlazionatuak izatea beraien artean. Nahikoa da proportzionalak izatea.

  Ariketa hauetan oso inportantea da, homologoak txikienetik - handienera ( ordenez) kokatuta egotea.

1 IRIZPIDEA: 2 angelu berdinak izatea. 

2. IRIZPIDEA: 3 aldeak elkarrengan proportzionalak izatea.

3 IRIZPIDEA: Angelu berdin bat izatea edota angelu horren aldeko parteak ( aldeak) proportzionalak izatea.

Gaurko etxekolanak : 40 , 41 , 47, 48 eta 53. 

ZOOOORTE OOOON ! =)

2011-02-15

Gaur, gai berri bat lantzen hasi gara, trigonometria izenekoa, eta honako atal hauek landu ditugu:

ANGELU ZORROTZ BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK.

Angelu zorrotz baten arrazoi trigonometrikoak, triangelu angeluzuzen baten aldeen arteko arrazoiak dira.

Horiek ikusi aurretik, hainbat gauza argitzea komenigarria izango litzateke. Triangelu angeluzuzen batean, beti daude bi kateto eta hipotenusa bat (Marrazkiaren kasuan, katetoak b eta c izango lirateke, eta hipotenusa a). Marrazkian ikus dezakezunez, angelu zorrotz bat dago markatuta, a letraz izendatua. Bada, angelu horren aurkako katetoa, angeluaren kontrako aldean dagoena, b da. Eta angeluaren alboko katetoa, c.

Puntu horiek argituta, a-ren arrazoi trigonometrikoak izendatzera ekingo diogu:

ADIBIDEA

1.      Kalkulatu triangelu angeluzuzen honen angelu zorrotzen arrazoi trigonometrikoak.

Sin a = 3/5 = 0,6           Sin  b= 4/5 = 0,8

Cos a = 4/5 = 0,8         Cos  b= 3/5 = 0,6

Tg  a= 3/4 = 0,75         Tg  b= 4/3 = 1,33

Ohartu angelu zorrotz baten sinuak eta kosinuak 1 baino txikiagoak direla beti, hipotenusaz zatitzen baitira. Tangentea, ordea, handiagoa edo txikiagoa izan daiteke, datuen arabera.

ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK.

Angelu baten arrazoi trigonometrikoek erlazio jakin batzuk betetzen dituzte, esate baterako, triangelu angeluzuzen baten aldeek Pitagorasen Teorema betetzen dute: b² + c² = a²

Oinarrizko erlazioak hauek dira:

Etxeko lanak: 126. eta 127. orrialdeetako 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 ariketak.

2011/02/04 ONARTUA

TRIANGELU ANGELUZUZENEN ANTZEKOTASUNA

·Etxeko lanak: 16., 17., 18., 19., 20. eta 21. ariketak.

2011/02/01

Kaaaixooooo laguuuun min guztiei !

Gaurko klasean esplikatutako TALESEN TEOREMA azalduko dizuet era labur eta garbi batean.

Tales teoreman hiru marra marraztuak daude beti. ( luzera desberdinekoak) eta marrak nahi ditugun kokapenaz begira. Horretarako zuzenkiak eta ebakitzaileak behar dira. Baina hasteko liburuan dauden moduan jarriko ditugu. Letrak ipini beharra daukagu. A (letra larria) eta A' (letra larriz ere) ipiniko ditugu, ondoren berbera egingo dugu B eta C letrekin.AB AC BC ( r zuzenkian) daude markaturik eta A', B', eta C' (r' zuzenkian) berriz. Esan daiteke HOMOLOAK direla .

AB  =   AC =   BC

                                                                   A'B'     A'C'    B'C'

Hauek proportzioan daude, HOMOLOGOAK direlako.

Kasu hauetan zuzenki batetik-bestera pasatzeko BETI zenbaki berberarekin bidertu behar da.

Hiztegia :

-Homologoak: Zuzen berberan kokaturik daudelako.

TALESEN TEOREMA hobeto ulertzeko 7 ariketa ebatziko dizuet bertan:

 KALKULATU EZEZAGUNAK ( X, Y,Z eta T letrak):

Goran errepresentauta daukagu 7. ariketako marrazkia. Horretarako lehen pausua TALESEN TEOREMA aplikatzea izango da.

r eta r'        2       =     3    =    t     

                2,25           x          5,25

X-ren balioa ateratzeko:  2    =    3    

                                      2,25      X

2·X =3 · 2,25

   X =      3 ·2,25     =  3,38 cm

Berdina egingo dugu baina T-ren balioa ateratzeko;

     2       =       t     

  2,25              5,25

   T =   2 · 5,25     = 4,67 cm

              2,25

Y-ren balioa :

   3,38    =    5,25    = 5,25·Y  =   3,38·6,5

    Y                6,5

                                          Y=   3,38·6,5        =  4,2 cm

                                                      5,25

     2,25      =    5,25     = 5,25 ·Z = 6,5  · 2,25

       Z               6,5

                                            Z =    6,5 · 2,25     = 2,8 cm

                                                       5,25

                                                                                                                                                                                              

Gaurko esplikazioa bukatzeko; TRIANGELUEN ANTZEKOTASUNA azalduko dizuet.

Hauek irudi antzekoak dira

• Aldeak proportzionalak
• Angeluak berdinak.

Hauetan nahiz eta irizpide guztiak (3-rak) hirukientzat izan, ez da beharrezkoa alde guztiak erlazionatuak izatea beraien artean. Nahikoa da proportzionalak izatea.

  Ariketa hauetan oso inportantea da, homologoak txikienetik - handienera ( ordenez) kokatuta egotea.

1 IRIZPIDEA: 2 angelu berdinak izatea. 

2. IRIZPIDEA: 3 aldeak elkarrengan proportzionalak izatea.

3 IRIZPIDEA: Angelu berdin bat izatea edota angelu horren aldeko parteak ( aldeak) proportzionalak izatea.

__________________________________________________________________________________

 BUKATZEKOOOOOOOO ! 

Gaurko etxekolanak : 40 , 41 , 47, 48 eta 53. 

ZOOOORTE OOOON ! =)