Antzekotasuna 1 saioa (2011/01/31)

Antzekotasuna (6 gaia)

Gai berriarekin hasi gara: ANTZEKOTASUNA. Antzekotasunaren asuntua ez zaigu guztiz ezezaguna egiten, matematikan? eta plastikan landu baitugu aurreko kurtsoetan. Horrela eta guztiz ere, gai honi buruz gehien kontrolatzen dugun kontzeptua eskalarena da. Eguneroko bizitzan planoak, maketak, erreprodukzioak, argazkiak, fotokopiak... antzekoak diren irudien edo gorputzen adibideak dira.

Bi irudi edo gorputz antzekoak dira baldin eta forma bera badute nahiz eta tamaina desberdina izan. Honek bi gauza suposatzen ditu :

     Dimentsio guztiak (luzera, zabalera edo/eta sakonera) proportzio berean handitzen edo txikitxen dira     

     Angelu guztiek neurri bera mantentzen dute

Ondorioa: Erregularrak diren irudiak antzekoak dira.

          Hexagono erregular guztiak antzekoak dira

          Zirkunferentzia guztiak antzekoak dira

          Esfera guztiak erregularrak dira

Antzekoak diren bi irudi emanik, lehenengoa (X) originala izango da eta bigarrena (X') irudia edo kopia. Dimentsioen arteko zatidurari antzekotasun arrazoia deritzo eta r letraz adierazten da: r=l'/l=z'/z=s'/s

             r>1 bada irudia handiagoa da

             r<1 izanik irudia txikiagoa da

Planotan eta maketetan eskala eta antzekotasun arrazoia lotuta daude, hau da, 

       1:1000 eskalarekin zera adierazten dugu: errealitateko 1000 unitate planoko 1 unitatea da (1000cm-1cm)

       eta, ondorioz, r=1/1000=0,001

Aipatutakoa luzeretarako edo distantzietarako: luzera, zabalera, altuera, diagonala, aldea, perimetro... hau da luzerako unitatetan neurtzen den guztietarako. Baina,

             zer erlazio dago antzekoak diren irudien azaleren artean? Eta,

             nola daude erlazionatuta bi gorputzen bolumenak?  

Bi irudi antzekoen azaleren arteko erlazioa antzekotasun arrazoiarekin erlazionatuta dago:

             A'/A=r^2 (azaleren arteko zatidura antzekotasun arrazoiaren berbidura da)

Bi gorputz antzekoen bolumenen arteko erlazioa antzekotasun arrazoiarekin erlazionatuta dago:

             B'/B=r^3 (bolumenen arteko zatidura antzekotasun arrazoia ber hiru da)

Erlazio hauek batzutan ez dira oso nabarmenak, adibidez

  

Batzuk (guk ez, noski!) esango lukete txikiak 10€ balio duela, baino ez, irudian antzematen da teoriak dioena, pizza handian 4 pizza txiki sartzen dira, hau da, antzekotasun arrazoia r=1/2 da eta azaleren arteko zatidura  r^2=(1/2)^2=1/4 da. Azaleraren arabera ordaintzen denez, txikiaren azalera handiaren laurdena izanik pizza txikiak 20·1/4=5€ balio du. 

Zenbat pisatuko luke 1,50 m altu den Eiffel dorrearen erreprodukzio batek?

Datuak: Originalaren altuera 300 m eta pisua 8000 tona (8·10^6 kg)

Antzekotasun arrazoia r=1'50/300=0,005

Pisua bolumenaren araberakoa da, beraz, bolumenen edo pisuen arteko zatidura r^3 da.

 

B'/B=r^3   edo   P'/P=r^3   P' askatuz    P'=P·r^3    ordezkatuz    P'=8·10^6·0'005^3    eta kalkuluak eginez P'=1kg       

Gezurra dirudi, ezta? KONTUZ hauekin.

Ah, eta aukera baduzue Parisera joan eta bertan konprobatu, merezi du.

Etxeko lanak:  25 27 29 30 31 32 34 36

2011/01/12 (Onartua)

90.orrialdeko ariketak:

EKUAZIO EZ-LINEALEN SISTEMAK:

Ekuazio ez-linealen sistemak ekuazio ez-linealen bat duten sistemak dira (1.mailako baino handiagoak, zatiki aljebraikoak situena, erroetaduna...). 

·Ariketa hontan ekuazio ezlineala azaltzen zaigu. Ebatzi ahal izateko x ala y bakandu behar da. Horretarako modu eta metodo errazena aukeratu behar dugu. Kasu hontan aukera egokiena borobil berde batez inguratutako x aukeratzea izango litzateke, honen koefizientea 1 delako.  Eta ordezkatze metodoa erabiliko genuke ebazteko.

· Aurrean dugun ariketan, zatikia duen ekuazioa azaltzen zaigu. Bertan ere modu errazenean ebatzi ahal izateko ordezkatze metodoa erabiliko dugu, nahiz eta beste batzuk erabili ahal izan. Lehenik sinplifikatu behar da eta ondoren bakandu. x izan da ordezkatzea erabaki duguna.

·Azkeneko ariketa honetan bi ezezagunen arteko biderketa bat azaltzen zaigu. Horregatik behean dugun y-a aukeratu dugu bakandua izateko, koefizientea 1 duelako. Ondoren beste polinomioan txertatuko dugu y-ren lekua ordezkatuz.





 

 

5.Ekuazio -sistemak

1 Ekuazio linealen sistemak

Ekuazio liealen sistemak deitzen diogu linea bat formatzen dutelako,eta berretzaile guztiak 1 direlako.

Bi ezezaguneko ekuazio lineala: ax + by =c   a,b eta c zenbaki errealak dira, eta x eta y,ezezagunak.
Ekuazioa betetzen duen zenbakien pare bakoitzari ebazpena deitzen diogu.

Bi ezezaguneko ekuazioek infinitu ebazpen dituzte,baina zenbaki pare batzuk ez dira ebazpenak.

Infinitu ebazpen:

2x + 3y = 2    ----->    x=1, y =0 parea ebazpena da:
                                    2 · 1 + 3 · 0 = 2
                                                                                             Ebazpen guztiak adierazteko,ebazpenak diren
                                                                                             bi puntu hartu eta zuzen batean elkartu behar
                                                                                             dira.
                                   x= -2,y =2 parea ebazpena da:
                                           2 · (-2) + 3 · 2 =2


Bi ezezaguneko ekuazio linealen sistema bat horrelako ekuazion multzo bat da eta ekuazio jorietarako ebazpen komuna kalkulkatu nahi da.
Ekuazio -sistemaren ebazpen bat ,bi ekuazioak betetzen dituen balio pare bakoitza da.


Ekuazio sistema lineala aljebraikikoki ebazterakoan hiru desberdin ditugu:

1)Sistemak soluzioa du,"bateragarria" da:

• A / Soluzio bakarra du,"bateragarria eta mugatua " da.       A2/A1 ezberdin B2/B1
• B/Infinitu soluzio ditu,"bateragarria eta mugagabea "da.      A2/A1 = B2/B1=C2/C1

2)Sistema ez du soluziorik,"bateraezina" da:

• A2/A1=B2/B1 ezberdin C2/C1

Sistema osatzen duten ekuazioak grafikoki adieraziko bagenitu hiru grafiko diferenteak aterako dira

1.a ) Bateragarri mugatua

1.b)Bateragarri mugagabea 

2Bateraezina